完美幻方构造法

本书将已发表的完美幻方构造法总结为6个大类,分别为乘积法、砌块法、砌块幻方变换法、马步法、拉丁方法和其他方法. 在总结现有文献的基础上,收入了作者尚未发表的一些研究结果，修正推广一些完美幻方的方法。读者只要细心研读，并练习、掌握了本书中所举的方法,对任意阶完美幻方的构造都会游刃有余。本书适合对幻方有兴趣的数学爱好者和对完美幻方进行一定理解和研究的学者。

幻方起源于中国，风靡于世界，千百年来研究者不知凡几。从杨辉口诀(“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”)到连续摆数法(罗伯法)、阶梯法、LUX法、拉伊尔法、乘积法、砌块法、马步法、拉丁方法等，幻方的构造方法千变万化，数不胜数，体现着这一古老的组合数学问题的神奇。在各式各样的幻方中，有一类特殊的幻方，它不仅要求幻方的各行、各列和两条对角线数字之和均相等，而且还要求所有的泛对角线(又称折对角线)数字之和也相等，这就是完美幻方。泛对角线和相等的特点给予完美幻方很多美妙的性质，故而引起人们更大的研究兴趣，但也正是因为约束条件的加强，使得完美幻方的构造难度比普通幻方增大许多，构造方法也相对较少。本书较为系统地梳理了构造完美幻方的主要方法，并发展、完善了部分方法，希望能给国内的幻方爱好者提供关于完美幻方构造方法的较为全面的认识。
本书将已发表的完美幻方构造法总结为六大类，分别为乘积法、砌块法、砌块幻方变换法、马步法、拉丁方法和其他方法。在总结分析现有文献资料的基础上，收入了作者尚未发表的一些研究结果，包括：(1)修正了文献中关于乘法(Ⅲ)的一个错误结论，给出了乘法(Ⅲ)下任意两个不同阶的完美幻方相乘得到完美幻方的充要条件。(2)将乘法(Ⅳ)从两个同阶(准)幻方相乘推广到不同阶的情形。(3)将砌块法中的模板由4阶完美幻方推广到4k阶完美幻方，正逆序砌块的安装顺序由按序号的自然数顺序推广到任意指定的模式图顺序，建立了广义砌块的概念和构造完美幻方的方法，并揭示了砌块结构和合格模板之间的关系。(4)提出了广义完美幻方砌块全正序安装构造高阶完美幻方的新方法。(5)推广和完善了混合砌块法。(6)将完美幻方砌块的同步变换法推广到半同步变换法。(7)打破了等值幻方砌块法按连续数区顺序安装砌块的传统方式，极大地丰富了该法，并且揭示了任意4k阶等值幻方砌块模板的构造方法。(8)给出了作者已发表的广义马步法在基础数组首数不为1时，基础数组应满足的条件。(9)给出了幻矩阵法中构造幻矩阵的方法。(10)建立了新的等距互补法。读者只要掌握了本书中的方法，对任意阶完美幻方的构造都将游刃有余。
考虑到国内大多数幻方爱好者的兴趣所在，而且绝大多数方法的严格证明都有文献可寻，本书略去了所用方法的证明过程，而将重点放在了构造过程的讲解和示例上。对于幻方的各种性质，除极少数外(如保块和、Franklin性质、最完美幻方性质等)，其他如雪花性(对称性)、平方和相等性、特优性等未涉及，就留给读者自己研究吧。
由于作者的学识和水平有限，而幻方研究的文献汗牛充栋，本书内容定是挂一漏万，错误也在所难免，作者真诚地期待广大读者和同好批评指正。如果本书能对读者研究完美幻方有点滴启发，则是作者莫大之荣幸了!

王正元2014年6月于北京

本书将已发表的完美幻方构造法总结为6个大类,分别为乘积法、砌块法、砌块幻方变换法、马步法、拉丁方法和其他方法. 在总结现有文献的基础上,收入了作者尚未发表的一些研究结果,包括： （1）修正了文献中关于乘法（III）的一个错误结论. （2）将乘法（IV）从两个同阶（准）幻方相乘推广到不同阶的情形. （3）将砌块法中的模板由4阶完美幻方推广到阶完美幻方. （4）提出了广义完美幻方砌块全正序安装构造高阶完美幻方的新方法. （5）推广和完善了混合砌块法. （6）将完美幻方砌块的同步变换法推广到半同步变换法. （7）打破了等值幻方砌块法按连续数区顺序安装砌块的传统方式,极大地丰富了该法,并且揭示了任意阶等值幻方砌块模板的构造方法. （8）给出了作者已发表的广义马步法在基础数组首数不为1时,基础数组应满足的条件. （9）给出了幻矩阵法中构造幻矩阵的方法. （10）建立了新的等距互补法. 读者只要掌握了本书中的方法,对任意阶完美幻方的构造都会游刃有余. 

第1章基础知识001
1.1什么是幻方001
1.2本书使用的几个基本概念002
1.2.1主、副对角线与泛对角线002
1.2.2等效位003
1.2.3同构集003
1.2.4幻方阶数的分类004
1.3完美幻方004
第2章乘积法007
2.1乘法（Ⅰ）007
2.2乘法（Ⅱ）018
2.3乘法（Ⅲ）024
2.4乘法（Ⅳ）036
2.5四种乘法之间的关系050
第3章砌块法054
3.1连续数区砌块法054
3.1.1基本方法054
3.1.2广义砌块056
3.1.3以4k阶完美幻方为模板061
3.1.4改变安装顺序061
3.2等差数列砌块法068
3.2.1基本概念068
3.2.2以4阶完美幻方为模板069
3.2.3以4k阶完美幻方为模板074
3.3二维等差数列砌块法079
3.4完美幻方砌块法086
3.5模板和砌块的关系096
3.6混合砌块法101
3.6.1AB+CD模式103
3.6.2AB+EF模式113
3.6.3AB+GH模式118
3.7等值幻方砌块法121
第4章砌块幻方变换法134
4.1同步变换134
4.1.1同步变换的概念134
4.1.2同步变换的结果139
4.2半同步变换154
4.3共轭变换162
4.4等值幻方砌块模板的构造167
第5章马步法175
5.1马步法175
5.2超马步法177
5.3广义马步法177
5.4关于广义马步法基础数组任意性的讨论185
第6章拉丁方法197
6.1拉丁方与幻方197
6.2完全拉丁方法198
6.3广义拉丁方法201
6.3.1直接构造广义完全拉丁方202
6.3.2行等和矩阵法203
6.3.3保块和法207
6.3.4二进制法216
6.4用广义拉丁方法构造特殊完美幻方222
6.4.1m×m保块和完美幻方222
6.4.2Franklin完美幻方228
6.4.3兼具部分Franklin幻方性质的最完美幻方233
第7章其他方法238
7.1数列对换法238
7.2基元顺安双移法242
7.3幻矩阵法245
7.4构造最完美幻方的三步法249
7.5四区调换法251
7.6等距互补法254
7.6.1基本方法254
7.6.2幻矩阵等距互补法256
7.6.3均化幻矩阵等距互补法259
参考文献262