数学物理方程（许兰喜）（第二版）

第二版前言
本书于2016年出版以来，经过7年的教学实践，在听取读者反馈的基础上，本次修订编者进行了以下几方面的修改。
（1）修正了第一版中的一些打印错误。
（2）在第1章引入了受力“方向角”的定义，并把该处理方法应用到全书，该方法便于学生理解数学建模过程，更好掌握课程内容。
（3）第1章补充了多个自变量二阶线性偏微分方程的分类。
（4）第5章在第一版中只介绍了具有轴对称性的球函数，新版增补了一般球函数的内容和应用举例，供有兴趣的同学参阅。
（5）第6章增补了圆柱形区域内如何利用分离变量法求解三维拉普拉斯方程、三维波动方程以及三维热传导方程的定解问题，讨论了Helmholtz方程在球形区域内的求解。
（6）第7章把求解有理函数的拉普拉斯逆变换与高等数学中的有理函数的不定积分求法对比，以此提高求有理函数拉普拉斯逆变换的速度。
另外，第二版在原有叙述的基础上引入线性映射来定义线性微分方程；对偏微分方程的通解做了进一步补充；完善了达朗贝尔公式的物理意义。
在此感谢北京化工大学研究生院对本教材的支持，正是在研究生院教改项目的资助下本书修订版才得以完成和出版。本书的修订也得到了国家自然科学基金的资助，借此表示感谢。门曰阳老师在内容修改方面给我提出了许多建议，在此向他表示感谢。化学工业出版社的编辑向我提供了许多支持、建议和鼓励，在此表示感谢。
因水平有限，书中难免出现疏漏，继续欢迎广大读者给予批评指正。

编者
2023年5月




前言
数学物理方程课程涉及的专业有：材料科学与工程、化学工程与技术、动力工程及工程热物理、机械工程等近十个专业。目前数学物理方程的教材有很多，且各有特色。但是，随着专业学位招生规模的不断扩大，迫切需要一本适合工科专业学位研究生的“数学物理方程”教材或参考书，以适应新的教学需求。
工科数学物理方程的教学最直接的目标是使学生能够应用数学知识解决工程中的实际问题，并由此提升他们学习数学的兴趣。鉴于此，我们应该在实际教学中，结合学生所学专业，多举一些有实际背景的例子。为此，本书在以下五个方面做了一些尝试，希望能以此提升学生的学习兴趣，提高学习效率，增强解决问题的能力。另外，本书的推导过程紧扣高等数学的内容，这样学生更易理解。
本书特点如下。
（1）适当减少数学的推导证明。过多的数学推导会导致学生对该课程有恐惧感。大部分工科硕士生的数学基础局限于高等数学，对于大篇幅的推导很不习惯，很排斥。过多的数学推导会使学生降低甚至丧失学习兴趣，因此，本书针对工科学生的数学基础删除了不必要的证明。
（2）数学模型的导出更详细。大部分的学生感兴趣的是怎样把具体问题转化成数学问题。如果对导出过程讲解不详细，学生在应用中遇到实际问题时，不会建立数学模型，这样很难提出科学问题，因此，本书在应用隔离物体法导出模型时，导出过程非常详细。
（3）例题的求解过程更详细。例题求解过程不详细会直接导致多数同学觉得解题无从下手，没有思路，不知如何计算，一算就错。本书中所有例题的求解过程非常详细，便于同学解题时参照。
（4）内容排版重点醒目突出。数学物理方程的内容多，同学课后看书抓不住重点，或找不到关键知识点，因此有必要在内容排版时突出主要知识点，做到一目了然。本书把关键知识点，主要定理和主要公式都用边框加阴影加以标注。
（5）增加应用举例。根据选课学生的专业增加了一些应用举例，主要涉及材料工程、化学工程及信息与系统等方面的应用。
另外，本书在每一章开头列出了本章的基本要求，例题分析，并且求解运算过程也非常详细。每节后配有适量的习题，书后附参考答案和提示，便于读者参照对比。贝塞尔函数比较抽象，为了便于读者了解贝塞尔函数的基本性质，本书给出了一些贝塞尔函数的图形。卷积在工程方面应用很广，因此，本书对于卷积的介绍比较多，并尽量用卷积表示定解问题的解。另外，为了同学在学习中查找方便，本书在附录中不仅附有傅里叶变换表和拉普拉斯变换表，而且还附有常用的数学公式（附录Ⅰ）、常微分方程中常用的重要结论（附录Ⅱ）以及傅里叶级数的主要结论（附录Ⅲ）。
特别感谢北京化工大学研究生院对本书的支持，正是在研究生院教改项目的资助下本书才得以完成和出版。黄晋阳教授在内容组织上提出了许多建议，在此向他表示感谢。同时感谢我的研究生董利君同学，是他绘制了本书的所有插图，并录入了部分稿件内容。

编者
2016年6月

本书是根据工科硕士生的专业需求和数学基础而编写的数学物理方程教材。内容包括偏微分方程的基本概念，数学物理方程相关的背景，数学模型的建立与定解问题，定解问题的典型求解方法（求通解方法、行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法以及数值求解法）。另外还介绍了勒让德多项式、球函数和贝塞尔函数在求解定解问题时的应用。
本书模型导出过程详细，与基础数学课程联系紧密，突出应用。本书可作为工科各专业高年级本科生、研究生的教材，也可作为工程技术人员的参考用书。

第1章 数学物理方程及其定解问题 1
1.1波动方程及其定解问题3
1.1.1波动方程的导出3
1.1.2典型定解条件6
1.1.3典型定解问题11
习题1.112
1.2热传导方程及其定解问题13
1.2.1热传导方程的导出13
1.2.2典型定解条件15
1.2.3典型定解问题17
1.2.4最值原理18
习题1.220
1.3位势方程及其定解问题21
1.3.1位势方程的导出21
1.3.2位势方程的典型定解问题22
1.3.3最值原理23
习题1.324
1.4定解问题的适定性及数学物理方程的分类25
1.4.1定解问题的适定性概念25
1.4.2二阶偏微分方程的分类25
习题1.428

第2章 线性偏微分方程的通解 29
2.1线性偏微分方程解的结构定理29
习题2.130
2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解31
习题2.232
2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解32
习题2.335

第3章 行波法 36
3.1一维波动问题与达朗贝尔公式36
3.1.1无界弦的自由振动36
3.1.2齐次化原理37
3.1.3无界弦的受迫振动38
3.1.4达朗贝尔公式的物理意义43
3.1.5依赖区间、决定区域、影响区域44
习题3.145
3.2空间波动问题47
3.2.1函数的球面对称性47
3.2.2齐次波动问题的泊松公式47
3.2.3非齐次波动问题的Kirchhoff公式53
3.2.4波动问题解的物理意义56
习题3.257

第4章 分离变量法 59
4.1Sturm-Liouville本征值问题59
4.1.1第一边值条件的本征值问题59
4.1.2混合边值条件的本征值问题60
4.1.3各类本征值问题小结及级数展开61
习题4.162
4.2波动方程的定解问题63
4.2.1齐次方程的齐次边值问题63
4.2.2级数形式解的物理意义66
4.2.3非齐次方程的齐次边值问题68
4.2.4非齐次方程的第一非齐次边值问题73
习题4.275
4.3热传导方程的定解问题76
4.3.1齐次方程的第二齐次边值问题76
4.3.2非齐次方程的第二齐次边值问题77
4.3.3非齐次边值问题79
4.3.4混合边值问题举例81
习题4.384
4.4拉普拉斯方程的定解问题85
4.4.1圆域内的第一边值问题85
4.4.2矩形域内的第一边值问题88
习题4.491

第5章 勒让德多项式、球函数 93
5.1勒让德多项式93
5.1.1勒让德方程及其本征值问题93
5.1.2勒让德多项式93
5.1.3勒让德多项式的母函数与引力势96
5.1.4勒让德多项式的性质与勒让德级数98
习题5.1102
5.2勒让德多项式的应用103
习题5.2108
5.3球函数、连带勒让德方程109
5.3.1球函数与连带勒让德函数109
5.3.2连带勒让德函数和球函数的基本性质111
5.3.3球函数应用举例114
习题5.3116

第6章 贝塞尔函数 117
6.1推广的Γ-函数117
6.2贝塞尔方程的导出118
6.3贝塞尔方程的通解与贝塞尔函数120
6.4贝塞尔级数展开124
6.4.1贝塞尔函数的恒等式124
6.4.2贝塞尔函数的正交性125
6.4.3贝塞尔级数展开126
6.5贝塞尔函数的应用128
6.5.1圆形区域128
6.5.2圆柱形区域132
6.5.3球形区域135
习题6.5136

第7章 积分变换法 137
7.1傅里叶积分变换137
7.1.1傅里叶积分公式与傅里叶变换137
7.1.2傅里叶变换的基本性质141
7.1.3卷积142
7.1.4多重傅里叶变换145
习题7.1146
7.2拉普拉斯变换146
7.2.1拉普拉斯变换的定义147
7.2.2存在定理及性质148
7.2.3反演公式151
习题7.2157
7.3傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用158
7.3.1一般定解问题158
7.3.2拉普拉斯变换在化学反应工程中的应用165
7.3.3拉普拉斯变换在材料科学中的应用170
习题7.3171

第8章 格林函数法 173
8.1δ-函数173
8.1.1δ-函数的定义173
8.1.2δ-函数的物理意义174
8.1.3广义函数与δ-函数的数学性质175
8.1.4高维δ-函数178
8.1.5δ-函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换178
8.1.6δ-函数及其傅里叶变换和卷积运算在通信工程中的应用180
习题8.1182
8.2格林公式及其应用182
8.2.1格林公式183
8.2.2应用举例183
习题8.2184
8.3位势问题的格林函数185
8.3.1格林函数的概念185
8.3.2位势方程的第一边值问题187
8.3.3用电像法求格林函数188
习题8.3191
8.4含时间问题的格林函数192
8.4.1波动方程的初值问题192
8.4.2热传导方程的初值问题196
习题8.4198

第9章 数值求解法 199
9.1波动方程的差分解法200
9.2热传导方程的差分解法201
9.3位势方程的差分解法203
9.3.1同步迭代法204
9.3.2异步迭代法205
习题9.3207

附录 208
附录Ⅰ常用公式208
附录Ⅱ线性常微分方程的通解214
附录Ⅲ傅里叶级数216
附录Ⅳ傅里叶变换表217
附录Ⅴ拉普拉斯变换表218
部分习题参考答案221

参考文献249