微流动--基础与模拟

前言
我们在微尺度流体力学方面的工作是在与Dan Cho和William Trimmer有趣的讨论的促使下
，于1989年开始的。他们两位是微机电系统(MEMS)中多学科交叉领域最早的研究者之一。
虽然他们都没有研究过流体力学，但他们在MEMS的早期应用中就预见到了了解微尺度流动的
需求，如旋转马达中的挤压薄膜阻尼效应。这种认识也明显地反映在1988年美国科学基金会
影响深远的报告——《小机器，大机会》中(Gabriel等,1988)。
20世纪90年代早期，宾西法尼亚大学H.Bau和J.Zemel的研究小组的微通道流动实验对液体
和气体都揭示了有趣的结果，并引发了对低雷诺数流动新的研究热潮。大约同时，另一项有
影响的进展是何志明（C.M.Ho）和戴聿昌(Y.C.Tai)的研究小组制备的首个集成了压力传感
器的微通道。宾西法尼亚大学得到的实验结果已显示了微流动与常规流动的总体偏离，而采
用压力传感器及后来采用温度传感器对气体流动的逐点测量更揭示了尚未被人们熟悉的连续
介质理论捕捉到的微尺度上新的流动行为。在微观几何空间内的流动中，液体会呈现颗粒性
状，气体会呈现稀薄效应，而边界会“移动”。另外，其他的现象，如热蠕变、动电效应、
黏性加热、反常扩散，甚至量子和化学效应都会变得重要。最重要的是，壁面的材质和其表
面的质量在动量和能量的交换中有非常重要的作用。有人可能会争辩说，至少对气体而言，
微流动的情况与30多年前已透彻研究过的低压高空航空流动相似。实际上在一定Knudsen数
范围内它们之间确实有相似性。但大多数微流动与相应的航空流动相比都对应于较低的雷诺
数和马赫数。而且，典型的微几何结构都具有很大的外形比，因而对数值建模提出了更多挑
战，但也为获得半解析解创造了机会。
微尺度上和宏观领域的流体力学的主要区别大致可分为四个方面：
非连续效应
表面主导效应
低雷诺数效应
多尺度和多物理效应
其中的一些效应可通过对计算流体力学的标准模拟过程作相对简单的改变而模拟，但其他的
要采用宏观领域中不采用的新方法。对气体微流动，因为密度梯度相对较大，压缩效应非常
重要，虽然马赫数在典型情况下较低。根据稀薄化的程度，在边界上或流动区域的各处可能
要引入修正。较强的稀薄效应可能使NavierStokes方程中的应力张量和热流矢量的本构
模型不再适用。另一方面，对复杂的微观几何体来说，应用玻尔兹曼方程或通过分子动力学
直接实现牛顿运动定律在计算上还非常困难。同样，在液体中对原子逐个使用牛顿定律的原
子模拟也仅限于极小的体积。因此，对气体和液体都要使用原子与连续介质结合的方法来有
效处理对连续介质的偏离，并提供与大尺寸区域的连接。最重要的是，微流动发生在流动、
电、机械和热力作用同时发生的MEMS设备中。这反过来意味着需要通过快速而灵活的算法和
低维建模来有效实现全系统的模拟，达到与VLSI模拟中类似的成就。
本书将讨论气体与液体微流动以及粒子流(particulate flow)。对体现了与宏观尺度的大
多数差别的气体微流动作了一些重点阐述，但我们也讨论液体独有的一些现象（如动电效应
和双向电泳）和模拟方法（如分子动力学）。粒子微流动，即输送蛋白质或脱氧核糖核酸
(DNA)分子等大分子的流动，对生物流动方面应用的重要性与日俱增。它们包含了运动区域
和多个长度尺度，因此需要采用特别的方法来高效地处理它们计算的复杂性。本书的原稿很
大一部分是基于Beskok在Karniadakis指导下完成的关于气体微流动的博士论文。而目前的
最终版本包括了我们以及其他研究者在一般的MEMS流动上新近的工作。对于在一个发展迅速
的新领域中的第一本专著，材料的选择是非常困难的，因此我们还是倚重我们自己的工作和
同事们及匿名审稿者们非常有用的建议。
本书将讨论微流动模拟中的理论问题、建立半解析模型以及数值方法。它适合希望研究这个
新的流动领域的流体力学研究者。它可以作为微流动流体力学方面研究生课程的教科书，也
可以作为更一般的MEMS课程方面的后续教科书，同时与其他文献配合使用(如
Cercignani,2000;Allen和Tildesley,1994;GadElHak,2001;Madou,1997)。它也可以
作为从事MEMS方面其他工作并希望与流动模拟相结合的机械、电气工程师或物理学家的参考
书。我们的目标是建立实用的工程模型，即可以方便应用的宏观模型，而不是全面覆盖微流
动中遇到的所有理论问题。为此，我们收录了一些用来检验我们的模型的既有实验结果，如
Arkilic和Breuer进行的高分辨率质量流率测量，这些对MEMS领域中的其他研究者也会有用
。为了同样的目的，我们也收录了一些理论结果，如Cercignani、Loyalka、曾根良夫和
Aoki以及其他人获得的列表形式的玻尔兹曼方程精确解，它可用来解释实验结果、建立数值
和半分析模型。我们试图通过这些材料的搭配使本书能为这个多学科交叉领域中的更多的研
究者提供最大的帮助。
我们要感谢诸位同事，他们慷慨地为本书提供了他们的研究结果，其中有些还是尚未发表的
。我们要特别感谢德州仪器公司(Texas Instruments)及以下各位同事：
N.Aluru,K.Aoki,J.Banavar,H.Bau,R.Bayt,I.D.Boyd,K.Breuer,陈十
一,E.Cummings,G.Dent,G.Doolen,D.Freeman,R.Gale,P.Gascoyne,Y.Gogotsi,N.G.Hadj
iconstantinou,何志
明,M.Invanov,A.Ketsdever,J.Koplik,P.Koumoutsakos,C.Liu,S.Lomholt,C.Megaridis
,C.Meinhart,X.Nie,E.Oran,S.Quake,戴聿昌，
S.Tison,S.Troian,T.Veijola,X.Wang,J.White和W.Ye。我们同时还要感谢与
G.Bird,D.Cho,N.Catsonis,M.GadelHak,H.Lam,M.Maxey,K.Mayaram和W.Trimmer非
常有益的讨论。我们对K.Sreenivasan深表感激，他代表Springer首先建议了本书的写作项
目并详细审阅了本书的早期版本；同时感谢Lou LiShi，J.M.Khodadadi和M.Maxey,他们
阅读并校正了我们的书稿。我们要感谢我们的学生与合作者P.Dutta,M.Kirby,D.Liu,Ma 
Xia,T.Warburton以及Madeline Brewster在本书的排版和作图方面提供的帮助。我们还要
感谢美国国家科学基金会(NSF)、美国国家标准技术院(NIST)和DARPA在过去十年中我们从
事微流控技术(mico fluidics)研究的不同阶段给予的资助。
最后，我们要感谢我们各自家庭的支持。第一作者（G.K.）要感谢他的妻子Helen和他的儿
子Paris的爱和支持，并特别感谢他的岳母Koulla A.Christou在日常生活负担上的巨大帮
助。第二作者(A.B.)要感谢Carolyn,Sarah Aylin，Sinan Martin和Gungor Beskok一贯
的关爱、支持和耐心。
George Em Karniadakis
美国罗得岛州Providence
Ali Beskok
美国得克萨斯州College Station
	 
	 
	 
	 
	 

本书以微机电系统方面的应用为背景，介绍了微流动的形成机理，如非连续效应、表面主导效应、低雷诺数效应、多尺度和多物理效应等；同时介绍了微流动的行为特点，如边界滑移、热蠕变、动电效应、黏性加热、反常扩散、气体的稀薄效应和液体的颗粒化等。讨论的重点是气体微流动以及微流动的建模和模拟方法，包括连续介质和离散粒子方法。本书是在这些新兴领域出现较早、覆盖较全面、论述较系统的一本专著，较好地反映了该领域目前的动向和作者在这方面富有特色的工作。
本书可供机械、化工、材料、生物及信息技术领域相关的科研人员和工程技术人员参考，也可作为相关专业和领域的研究生或高年级本科生的教材或教学参考书。
	 
	 
	 
	 
	 

目录
1基本概念和技术1
11MEMS中新的流区1
12连续介质假设6
121有关分子的量值10
122混合流动区域13
123实验例证14
13先驱研究者18
14MEMS的全系统模拟21
15微流动模拟25
2控制方程和滑移模型31
21流体动力学的基本方程31
211不可压缩流33
212简化模型35
22可压缩流36
221一阶模型38
222适应系数的作用40
23高阶模型43
231高阶滑移模型的推导44
232一般性滑移条件46
233滑移模型比较49
3切变驱动和分离的微流动51
31库埃特流51
32方腔流54
33凹纹槽流56
34分离的内流58
35分离的外流66
4压力驱动的微流动：滑移流区70
41等温的可压缩流动70
42绝热可压缩流动——范诺理论76
43入口流动80
44用DSMC验证滑移模型83
45粗糙效应87
5压力驱动的微流动：过渡流区和自由分子流区90
51过渡流区和自由分子流区90
52微通道中的伯纳特方程93
53统一的流动模型95
531速度标度95
532流率标度97
533管流和孔道流模型102
6微尺度的热效应110
61热蠕变（流逸）110
611模拟结果112
612热蠕变实验114
613克努森压缩机115
614其他温度诱导流116
615热传导和幽灵效应118
62微泊肃叶流（Poiseuille flow）中的热传递119
63微库埃特流中的热传递125
7气体微流动的原型应用129
71微机电系统（MEMS）的气体阻尼和动态响应129
711雷诺方程131
712加速度计内窄薄膜的影响137
72微推进和微喷嘴流动141
721微推进分析142
722稀薄效应及其他效应146
8动电驱动的液体微流动151
81动电效应评述151
82双电层152
83近壁电势分布154
84电渗流的控制方程156
85动电微槽流158
86EDL/主流界面速度匹配条件161
87电渗滑移条件163
88复杂结构中的流动164
881交叉流接头165
882圆柱和正方柱阵列167
89双向电泳169
9连续性模拟的数值方法173
91一种高阶数值方法：μFlow代码174
911不可压缩微流动的公式177
912可压缩微流动的公式180
913滑移边界条件的实现184
914验证问题185
92无网格数值方法187
921静电悬臂梁190
922驱动方腔流191
93粒子微流的力耦合方法192
10原子模拟数值方法201
101分子动力学方法201
102直接模拟蒙特卡罗方法(DSMC)208
1021直接模拟蒙特卡罗方法的局限性和误差210
1022DSMC信息保存方法214
1023DSMC耦合与连续介质模型耦合215
103玻尔兹曼方程218
1031一般理论218
1032玻尔兹曼方程的经典解222
1033玻尔兹曼方程的曾根渐近理论224
1034玻尔兹曼方程的数值解232
1035非等温流动236
104格子玻尔兹曼方法（LatticeBotzmann method,LBM）237
1041与NS方程解的比较239
1042微流动的格子玻尔兹曼方法模拟241
参考文献243
索引266

符号表


常量与参数
Cf范宁表面摩擦系数
CD曳力系数、质量排放系数
k弹簧常数
kB玻尔兹曼常数
Isp比冲量
n数密度
Q品质因数
R理想气体常数
α体积份额
γ绝热指数
ε伦纳德琼斯势中的能量参数
σv能量适应系数
σT热适应系数
无量纲数
Ec埃克特数
Kn克努森数
M马赫数
Nu努塞特数
Po泊肃叶数
Pr普朗特数
Re雷诺数
S挤压数(squeeze number)
Λ轴承数(bearing number)
长度量
Ac碰撞截面积
h,H通道高
L通道长，特征尺度
DH水力直径
d分子直径
δ平均分子间距
λ平均自由程
λD德拜长度
σ伦纳德琼斯势中的长度参数
数值参数
Ω求解区域
Ω求解区域Ω的边界
n向外的单位法向矢量
Δt时间步长
Δx间距
电学参数
Fe电场力
V电压
α离子能量参数
ε电容率
σ电导率
ψ电渗透势
ζζ电势
微分算子
Δ2拉普拉斯算子
Δ·散度
Δ×旋度
流体和热变量
c分子均方根速度
cs声速
Cp,Cv比热容
E总能量
Eij应变张量
f0麦克斯韦分布函数
k热导率
Q·体积流率
M·质量流率
p,P压强
q热通量(矢量)
v,ui,U速度
v平均热速度
vm最大（最可几）热速度
Vp颗粒体积
ΔP压强差
ΔT温度差
μ,ν动力黏度，运动黏度
μef有效动力黏度
Π压强比
ρ密度
σij应力张量
τw壁面剪切应力，无量纲壁面温度
ω涡度，涡量