破解引力：广义相对论的诞生之路

2018年笔者制作了一套科普现代宇宙学的视频，上线后收到大量感谢评论并得到大量认可，这让笔者萌生将广义相对论也制作成类似视频的计划。在2019年筹备过程中，慢慢感觉完全可以将所写内容整理成书，于是开始本书的写作。
由于广义相对论将时空与黎曼几何等同起来了，这导致介绍广义相对论的书籍越来越数学化，黎曼几何中数学对象的地位越来越突出，而广义相对论所包含的大量丰富的物理内容和物理思想被掩盖和弱化了。并且这种局面很早之前就已形成。第一本系统介绍广义相对论的书籍是泡利在1921年出版的《相对论的理论》，这本书几乎奠定了后来的写作方式和风格，即：先单独采用几章来全面介绍黎曼几何，然后在此基础上直接采用黎曼几何去展示说明广义相对论。而爱因斯坦在探索过程中使用过的大量丰富的物理内容和思想被过滤掉了。之后的大部分书籍都延续甚至加强了这种写作方式，比如托尔曼在1934年出版的《相对论、热力学与宇宙学》、朗道在1939年出版的《场论》、伯格曼在1942年出版的《相对论引论》、福克在1964年出版的《空间、时间和引力的理论》、MTW米斯纳（Misner）、索恩（Thorne）和惠勒（Wheeler）三人名字的开头字母合称MTW。在1973年出版的大部头经典著作《引力》等，最巅峰莫过于R.M.Wald在1983年出版的《广义相对论》，该书采用了更加抽象的数学语言来表述黎曼几何。这种写作方式的优势在于：它能够让广义相对论在数学形式上以最简洁的方式展现出来，让理论形式和计算过程得到极大简化。但其弊端是：初学者在学完这些书籍之后，大脑中留下的印象就只是一大堆与黎曼几何相关的数学概念，而很难看清楚广义相对论所包含的丰富物理内容及思想。比如大名鼎鼎的温伯格在《引力与宇宙学》序言中就明确地表达了这种不满，并试图扭转这一局面。瓦尼安和鲁菲尼在1976年出版的《引力与时空》也尝试了从不同角度来推导出广义相对论。但总体来讲，近几十年来的大部分书籍仍然是在泡利所开启的这种写作方式上不断提升和完善，比如常用的S.M. Carroll的《时空与几何》、T.帕德马纳班的《引力：基础与前沿》等。所以对于初学者而言，要想理解广义相对论所包含的丰富物理内容及思想，黎曼几何似乎成为了他们先要逾越的“障碍”。
在这样的背景下，对于初学者而言，一本尽可能采用最简单的数学语言而又保留广义相对论丰富物理内容和物理思想的书籍就成为一种强烈需求。这正是本书写作的初衷。本书避开了直接采用黎曼几何去介绍广义相对论造成的数学障碍，而是只采用最基础的微积分和线性代数运算来展示相关物理内容和思想。这不可避免地让本书的写作方式和风格与之前大为不同。
首先内容结构安排如下。第1~7章主要包括：等效原理和牛顿时空观的历史渊源和形成过程，引力思想的形成过程，以及牛顿对引力的构造过程、马赫和庞加莱对牛顿力学的批判。这部分内容几乎不采用数学公式，完全侧重于展现物理内容和物理思想的形成发展过程和内在逻辑结构。第8~12章主要包括：牛顿力学在电磁学中暴露的危机、洛伦兹对危机的解决方案、爱因斯坦对危机的解决方案、狭义相对论对牛顿力学的重建。这部分内容只包含初级的微积分和矢量运算的数学公式，而同样侧重于展现背后的物理内容和物理思想。第13~20章主要展示：在推广狭义相对论过程中，爱因斯坦在科研探索上所取得的每一个关键突破、遇到的困难障碍以及解决思路和方法，以及如何使得思想认识一步步向前推进，从而进入到修正牛顿引力的探索阶段的。这部分内容也只包含初级的微积分和线性代数的运算，侧重于展示爱因斯坦的探索过程和广义相对论相关物理内容的萌芽过程。第20~25章主要展示爱因斯坦对新引力理论进行艰难探索的详细过程。这部分内容完全基于爱因斯坦在这段时期所发表论文来书写，以最大限度呈现当时科研探索的历史过程。该部分内容也只需初级的微积分和线性代数知识基础就能阅读。第26~28章主要以地球为例子对广义相对论的理论成果进行展示说明，比如时空弯曲如何导致苹果自由下落、水星进动和光线弯曲的计算、时空弯曲的曲率计算等。这部分内容才正式包含黎曼几何相关的数学计算。
这样的结构安排也让本书具有以下几个特色。①不追求数学语言的严谨性和完整性，而侧重于展示相关物理概念和物理思想的萌芽、演化和成熟过程。如从历史渊源、物理学演变过程、哲学思想等角度对等效原理进行阐述；从亚里士多德、笛卡儿、牛顿、马赫、庞加莱、再到爱因斯坦的历史顺序来阐述时空观的演变过程；阐述牛顿力学的危机在电磁学中是如何暴露出来的；阐述牛顿引力的缺陷在推广狭义相对论过程中是如何暴露出来的；阐述爱因斯坦试图解决牛顿引力缺陷的各种探索尝试和思想转变过程；如惯性、惯性力、重性、重力、动量、动能、势能、能量、牛顿三大定律、电磁场、时间、空间、时空、同一时刻、洛伦兹变换、钟变慢、长度收缩、质能公式、坐标值与测量值、可变光速理论、度规场、能动张量、能量守恒定律、相互作用、等效原理、广义相对性原理等概念的演变过程，以及狭义相对论、地球引力场和一般引力场对牛顿力学的重建过程。②侧重于从物理图形的角度对广义相对论进行阐述。如直接采用钟表的刻度值推导出洛伦兹变换关系，直接采用狭义对论+等效原理推导出地球引力场中的时间流逝会变慢、空间长度会变长，以及引力场中的电磁场方程；如尝试采用空间的坐标长度与真实长度、时间的真实长度与坐标长度、同一段时间流逝与同一段时间间隔等简单概念对空间和时间广义相对性的理解方式进行梳理，从而更便于读者理解时空的弯曲，然后对时空弯曲导致苹果自由下落和行星运动的理解方式进行了梳理，进而对“弯曲时空告诉粒子如何运动”这句话的理解方式进行了澄清，使读者容易理解时空弯曲与引力之间的对应关系。③通过原始文献的解读来尽量还原科研探索的真实摸索过程。比如通过对笛卡儿、伽利略、惠更斯、牛顿等人著作的解读来展示牛顿力学的创建过程；通过对马赫和庞加莱著作的解读来展示牛顿力学所存在的问题；通过对麦克斯韦等人著作的解读来展示电磁学的创建过程；通过对洛伦兹论文的解读来展示洛伦兹变换的诞生过程；特别通过对爱因斯坦的论文、演讲和书信的解读来展示广义相对论的创建过程，并将整个过程总结为“一座桥梁加七个转折点”。④尽可能采用最简单的数学公式来展示说明物理内容，并且也尽最大可能保留数学推导的中间计算过程，从而避免数学计算对阅读造成的困难，进而让初学者能够轻松入门。当然，这种处理方式就不得不牺牲数学的严谨性和完整性，还好这种牺牲一点也不影响对广义相对论的理解。而且有了这个入门基础之后，一大堆追求数学严谨性的优秀书籍正在前面等着读者。采用这种弱化数学而突出物理的处理方式的另外一个原因是现在国内的物理课堂基本演变成了数学应用题的习题课，而忽略了物理这个根本，所以想为改变这一局面尽微薄之力。⑤可以将本书作为一本历史书来阅读。本书内容是按照如下历史顺序进行阐述的：物理学在古希腊的诞生、主要力学概念在中世纪的演变、主要物理概念在现代科学革命期间的演变以及牛顿力学的诞生过程、电磁学的诞生过程以及电磁学暴露出牛顿力学缺陷的过程、解决牛顿力学缺陷从而诞生狭义相对论的过程、推广狭义相对论以及暴露牛顿引力缺陷的过程，最后是爱因斯坦如何艰难尝试解决牛顿引力缺陷从而诞生广义相对论的过程。通过这样完整历史过程的阐述让读者更加全面地理解广义相对论中各种概念和问题的来龙去脉，从而避免理解的片面性。这些内容都是尽最大可能以原始文献作为参考材料来书写的，尽管这耗费了巨大的精力。
近两年的写作过程让我体会到写作真是一件无比耗费精力且艰难的工作，再加上本书采用了与之前同类书籍不同的写作方式，许多论证过程、阐述方式和数学推导过程都无相关资料可参考。所以，即使在仔细修改多遍书稿之后，书中不妥和疏漏之处仍在所难免，在此先恳请读者包容和谅解。

沈贤勇
2021年7月25日于杭州

沈贤勇，网名@川山洞主，四川乐山人，2015年毕业于上海师范大学天体物理中心，获博士学位，研究方向为引力修改与暗能量，现为浙江树人大学讲师。

本书分为五篇对广义相对论进行了介绍，第1篇主要讨论等效原理、空间观和时间观的历史渊源、形成过程和对经典力学的早期批判；第2篇包括经典力学的危机在电磁学发展过程中的暴露情况，为了解决危机而诞生狭义相对论的过程；第3篇介绍了在推广狭义相对论过程中，爱因斯坦的思想认识是如何一步步向前推进的，以及对牛顿引力进行修正的早期探索；第4篇详细介绍了爱因斯坦在1912—1915年对引力场方程进行艰难探索的详细过程；第5篇以地球为例子对广义相对论本身进行展示说明。本书作为广义相对论的入门书籍，完全避开了直接采用黎曼几何去介绍广义相对论给读者造成的数学障碍，而是只采用最基础的微积分和线性代数运算来展示相关物理和思想，并辅以大量图片，降低了读者理解的门槛。同时，本书尽量沿着物理学家的真实探索路径和历史发展顺序来阐述相关理论的来龙去脉，侧重于展示相关物理概念和物理思想的萌芽、演化和最终形成过程，从而让读者掌握广义相对论所包含的丰富物理内容和物理思想。
本书适合对广义相对论感兴趣的读者阅读，可作为高中生、本科生、研究生学习广义相对论的入门书籍，也可供相关领域或科学史科研工作者、教师参考。

第一篇 等效原理
第1章什么是合乎自然的运动?——重性与惯性002
1.1自然002
1.2重性003
1.3惯性004
1.4重性与惯性005

第2章重力与惯性力007
2.1亚里士多德宇宙体系的两个重要“基因”007
2.2对重性概念的早期修补方案——双重性理论007
2.3历史发展的曲折性——真相被掩盖008
2.4“基因”的突变——惯性思想的“胚胎”：virtus或者impetus009
2.5另一个“基因”的突变——重力思想的“胚胎”：virtus of gravitas012
2.6惯性思想诞生的三大障碍013
2.7哥白尼日心说——第一个思想障碍的消失，也是重力思想的萌芽014
2.8伽利略的贡献：运动是一种自身就可以独立存在的对象015
2.9笛卡儿理性主义带来的转折——物理学的分界点017
2.10惯性思想的正式诞生——所有思想障碍的扫除018
2.11笛卡儿理性主义的另一个影响——重力思想逐渐清晰：vis of gravitas019
2.12惯性力思想的诞生——惠更斯的答案：vis centrifuga020
2.13惯性力思想的诞生——牛顿的答案：vis inertia021
2.14思想的汇集——vis impressed、vis of gravitas、vis inertia、vis centrifuga022
2.15牛顿第二定律——力概念的诞生，物理属性开始被屏蔽023
2.16力(force)概念的成熟024
2.17“重力”取代“重性”——真相被掩盖025
本章小结027

第3章数学对象是真实存在的吗？——笛卡儿之前与之后的空间028
3.1数学对象是真实存在的吗?028
3.2笛卡儿的理性主义029
3.3亚里士多德的空间——与物质密切相关的等级空间030
3.4笛卡儿的空间——欧几里得几何空间031
3.5牛顿的空间——与物质无关的绝对空间033
3.6绝对空间和相对空间的数学化035
3.7绝对空间真的存在吗？——牛顿的辩护035
3.8为了证明绝对空间存在而付出的代价037
3.9绝对空间与虚空（真空）038
3.10具有“特权地位”的运动和空间038
3.11马赫对牛顿绝对空间的批判040
3.12牛顿的时间——与物质无关的绝对时间041
本章小结042

第4章牛顿对引力的构造043
4.1“重性”思想逐渐瓦解，“吸引”思想逐渐形成的阶段043
4.2争论阶段050
4.3新思想诞生的阶段：一场深刻的思想转变，从吸引作用到引力057
4.4胜利阶段059
4.5牛顿对引力的构造过程060
4.6牛顿引力存在的根基——绝对空间的存在061
4.7天体运动背后被掩盖的真相062
4.8真相被掩盖的过程——从固有属性到吸引作用再到牛顿的引力理论063

第5章机械世界观和牛顿力学——新的权威064
5.1笛卡儿的世界——机械世界观064
5.2牛顿力学065
5.3牛顿力学的发展——另外一条数学化道路068
5.4经典力学——多条数学化道路070
本章小结071

第6章哲学思想的巨大转变——马赫和庞加莱的批判073
6.1理性主义与经验主义073
6.2弗兰西斯·培根与实验074
6.3经验主义影响的扩大——从休谟到康德075
6.4马赫的批判076
6.5庞加莱的批判084
本章小结094

第7章重性与惯性—重力与惯性力—引力质量与惯性质量096
7.1引力质量与惯性质量096
7.2重性与惯性的重新统一097
7.3重性和惯性到底是什么?099
7.4历史的另外一场大转折即将开启100

第2篇 经典力学的危机以及狭义相对论的诞生
第8章电磁学的创立——电磁学属于牛顿力学吗？102
8.1电荷与电荷之间的力——库仑定律102
8.2让导线中电荷运动形成电流的推动力——欧姆定律103
8.3电流对磁的力、电流对电流的力——安培定律和毕奥萨伐尔定律104
8.4磁对电的作用力——电磁感应定律107
8.5法拉第的力线——第一套统一方案108
8.6韦伯力——第二套统一方案110
8.7类比——统一的第三条道路：库仑力、电张力与磁力113
8.8最终的统一之路：麦克斯韦最后的综合118

第9章电磁场时代的开启——也是矛盾爆发的时代135
9.1电动力学第一个研究对象：电磁场媒介物质对带电体的动力学135
9.2电动力学第二个研究对象：带电体对电磁场媒介物质的动力学146
9.3电磁场媒介物质的动力学产生的重要结论150
9.4矛盾的总爆发153

第10章电磁场与牛顿力学矛盾总结以及早期探索——洛伦兹变换154
10.1力是相对的154
10.2电子的质量156
10.3以太真的存在吗？158
10.4洛伦兹变换的诞生过程162
10.5运动也是相对的167
10.6质量也是相对的168
10.7物理量是相对的现象几乎已经完全暴露169
10.8光速不是相对的，是绝对的170
10.9电磁场自身就是一种物质，不需要借助媒介物质就能存在170

第11章庞加莱与洛伦兹的综合——狭义相对论的正式诞生171
11.1《论动体的电动力学》——爱因斯坦的另一种探索方式171
11.2重新定义时间——最关键的思想转折173
11.3狭义相对论正式诞生184
11.4时空——理性主义的回归186
11.5闵可夫斯基时空189
11.6时空是真实物理对象，还仅仅是数学工具？理性主义的再次胜利193

第12章狭义相对论对牛顿力学的重建195
12.1两套测量值195
12.2到底哪些物理对象具有两套测量值?196
12.3能量也具有两套测量值吗？198
12.4能量也具有惯性吗?200
12.5牛顿力学的重建过程202
12.6两套测量值之间到底是什么关系?206
12.7电磁学的重塑206

第3篇 狭义相对论向加速参考系推广过程
第13章光具有引力质量吗？210

第14章地球引力场中的时间212
14.1重力场对时间的影响212
14.2重力场中的另外一套时间测量值215
14.3爱因斯坦科研探索的重要起点219

第15章地球引力场对电磁场的影响220
15.1推导加速参考系中的麦克斯韦方程组所遇到的困境220
15.2爱因斯坦第一个重要的技术突破223
15.3爱因斯坦的广义相对性思想开始扩充227
15.4爱因斯坦对光线弯曲角度的计算229
本章小结230

第16章地球引力场中的空间232
16.1重力场对竖直方向空间的影响232
16.2重力场中的另外一套空间测量值234
16.3重力场对水平方向空间的影响236
本章小结236

第17章地球引力场对牛顿力学的重建237
17.1第一套重建方案238
17.2爱因斯坦当年的重建方案240
17.3重力场中自由物体的运动方程243
17.4一条全新的惯性定律——重力思想回归惯性思想244
17.5重力回归惯性之后的牛顿第二定律245
17.6重要启示——牛顿的引力需要修正246
17.7万有引力定律的重建246

第18章引力场对质量的影响249
18.1引力场中物体的静止质量增加部分来自哪里？251
18.2引力场自身也具有引力质量吗?252
18.3爱因斯坦的马赫原理252
18.4电磁现象给引力理论带来的启发256

第19章引力场的能量和动量258

第4篇 爱因斯坦探索新引力理论的过程
第20章牛顿引力的问题以及早期修改尝试261
20.1牛顿引力存在的问题262
20.2修正引力的早期尝试263
20.3修正之后的引力场方程告诉我们什么？264
20.4引力的修正对爱因斯坦思想带来巨大转变265

第21章一般引力场对牛顿力学的重建268
21.1速度的重建268
21.2动量的重建269
21.3对质量带来的影响269
21.4牛顿第一定律的重建270
21.5牛顿第二定律的重建271
21.6牛顿第三定律的重建272

第22章全部的运动量——能量动量张量273
22.1闵氏时空中物质的运动量273
22.2在闵氏时空中，更全面的牛顿第二定律276
22.3理想流体的能量动量张量279
22.4电磁场的能量动量张量283
22.5扩展之后的牛顿第三定律——对相互作用的一种新理解286
22.6关于物质与引力场之间关系的理解方式的重要转变287
22.7物质在引力场中全部的运动量和引力的力密度288
22.8引力场强的正确公式应该是什么？291

第23章爱因斯坦在1913年对引力场方程的探索294
23.1引力场的能量动量张量公式294
23.2新引力所需满足的场方程296
23.3新引力理论的自洽性297
23.4牛顿引力是新引力的近似298
23.5新引力理论面临的困境300

第24章广义相对性原理是新引力理论的必需302
24.1洛伦兹变换的特殊之处302
24.2什么是相对性原理？306
24.3克利斯朵夫记号310
24.4等效原理的局域性带来的改变311
24.5等效原理的局域性让广义相对性原理成为了必需319
24.6爱因斯坦的思想斗争过程——广义相对性原理的最终形成320
24.7等效原理的局域性带来的另外一个改变——矢量平移的重建322

第25章爱因斯坦在1915年对引力场方程的探索325
25.1引力场的场强公式是什么?326
25.2采用引力场强公式表述引力场方程328
25.3利用两个联络的乘积和联络的一阶导数构造具有广义协变性的数学对象329
25.4广义相对论的最终确立331
25.5最后的扫尾工作332
25.6引力场方程的广义协变性336
25.7对一种流行观点的讨论339

第5篇 新引力理论的新特征
第26章新引力理论的修正之处341
26.1爱因斯坦引力场方程的特点341
26.2在牛顿引力基础上，新引力的修正之处342
26.3对于太阳产生的引力，新引力理论的修正之处347
26.4爱因斯坦的引力对水星近日点进动的修正355
26.5爱因斯坦的引力对光线弯曲的修正358

第27章地球对时空的弯曲362
27.1地球周围空间的弯曲362
27.2地球周围空间弯曲的曲率366
27.3RT截面弯曲的形状368
27.4RT截面弯曲的表现方式——物体的自由下落370
27.5RT截面弯曲的曲率377
27.6时空的弯曲与引力之间的对应关系378

第28章如何计算时空的弯曲程度？380
28.1高斯曲率380
28.2黎曼截面曲率381
28.3里奇曲率385
28.4数量曲率387
28.5爱因斯坦曲率388
28.6二维截面曲率的非独立性389

附录
附录1牛顿的伟大计算391
附录2高斯定理395
附录3矢量和张量的分量指标396
附录4静止观测者如何测量时间、空间398
附录5《关于广义相对论》中验证能量守恒的计算过程400
附录6爱因斯坦的引力作用下第三个运动方程积分的中间计算过程402