曲线分析与非线性函数的建立及应用

在当今数据时代和数字经济背景下，各行各业的发展和运营都离不开数据的指导和帮助。由数据指导至可视化【曲（直）线、曲（平）面、立体】指导再到变化规律（函数）的掌握是一种必然的发展方向。这是因为，掌握函数相当于掌握了某种变化规律，掌握了变化规律就掌握了事物（过程）更为本质的内容，这对于问题的解决，无疑有更为深远的意义。掌握函数必将能够为现实工作提供更准确、更可靠、更多的帮助。数据→可视化→函数的转变，不仅是现实工作的需要，也是技术进步发展历程的一种体现。进一步讲，函数建立不仅具有广泛的现实需求，也是科技发展的需要。
目前，国内外普遍采用数据关联来解决现实问题，这类应用软件及相关书籍不胜枚举。在某些领域，在一定范围内，采用数据-可视化来解决现实问题。比如，被国内外广泛采用的数学软件MATLAB、Mathematica、Maple等，以及在国外已经采用多年、国内近年来迅速发展、被广泛应用于工程领域的BIM。在数据-可视化-函数等系列解决方案中以数据为基础、以可视化为重点是这些应用（及其相关书籍）的基本特点，而在函数建立方面，功能比较单一，主要采用线性回归拟合方法。本书提供了除线性回归拟合（经验函数求解方法之一）之外的非线性回归拟合方法、近似函数求解方法、理论函数求解方法。因此，本书内容是数据-可视化-函数系列解决方案中函数解决方案的一种尝试，是现有数据-可视化-函数系列解决方案的拓展和补充。
科研人员根据实验数据，建立近似函数或理论函数，从而掌握研究对象的变化规律；一般工程（工业、农业、商业、服务业）研发或技术（管理）人员根据实践统计数据，建立经验函数或近似函数，从而更深程度地了解或掌握过程的变化情况，进而为过程控制、预测与决策、优化、经济分析等工作提供依据和服务；统计人员根据统计数据，建立经验函数或近似函数，为行业或部门（地区）的发展规划、行政管理和日常管控等工作提供更有力的、更可靠的依据和帮助。
本书系统介绍理论函数、近似函数、经验函数的求解方法，针对多种应用场景，用数十个案例进行实际演示。不仅如此，本书提供的每一个案例的求解结果均采用MATLAB应用软件或AUTOCAD应用软件进行检验或验证比较，偏差大小用Excel计算并明示。换言之，每个案例的求解结果及偏差情况，读者均可进行实际验证。
任何方法的可行性、可靠性、有效性、实用性不能仅仅采用书面形式反映，更重要的是需要实践的检验。唯有通过实践检验的方法才是真正意义上的有效方法。因此，希望更多读者能在阅读此书的同时结合实际工作进行实际应用，以考察本方法的效果、识别方法的缺陷和不足，从而为改进和完善方法提供依据、积累经验。
任何方法都不是完美的，每种方法都会存在利弊。通过函数途径解决问题的基本思路是把问题当成确定性问题去解决，这与现实中很多问题具有不确定性是不相符的，这一点是在建函数解决现实问题时容易存在的一个盲区，从某种意义上说，是方法固有的一种缺陷。
本书所述的各类求解方法是基于一个假定——所有拟求数据是真实、可靠、准确、完整的。全套方法只承诺保证对给定数据（曲线）的求解结果的真实客观性和确定性数据演绎（比如给定曲线内的插值推测）的准确可靠性，不承诺对由数据失真、错误、缺失以及求解之外的其他工作（比如不确定性数据推测）导致的其他问题负有任何责任，原始（给定）数据错误导致的后果和不确定性数据演绎的风险由使用者自行承担。
由于作者水平有限，书中难免存在不足之处，希望读者批评指正。

著者
2022年8月

本书主要介绍利用三个函数（完整二次函数、负高次幂函数、时间累计函数）求解现实曲线（数据）相应函数的方法，即解决现实函数的建立问题。前三章分别讨论三个函数的基本性质，为函数求解及函数使用提供基础性依据。后三章分别介绍现实中可能的三类函数，即理论函数、近似函数、经验函数的求解方法。每章均分别以充实的例子演示各类函数的具体求解过程，一方面以验证方法的可行、可靠和实用，另一方面，为读者提供掌握各类求解方法的实际操作案例【只要读者针对书中给出的案例，能够逐一解出与本书一致的结果（或优于本书结果），本书所述现实函数的建立方法就基本掌握了】。
本书适合希望通过建立函数解决现实问题的各行各业从事科研、研发、统计、管理、技术工作的专业人士参考使用。

第1章完整二次函数1
1.1完整二次函数的基本介绍1
1.1.1完整二次函数的一般表达式1
1.1.2重要应用结论及推论1
1.2完整二次函数的形式2
1.2.1完整二次函数的形式分类2
1.2.2完整二次函数的基本应用形式3
1.2.3完整二次函数的形式转化3
1.2.4两个重要关系4
1.3完整二次函数的定义域、值域及相关问题4
1.3.1定义域4
1.3.2值域5
1.3.3其它显函数定义域与值域5
1.3.4定义域与值域分析举例6
1.3.5定义域与值域的组合及组合特点6
1.3.6无效完整二次函数的系数情况8
1.4完整二次函数的图像9
1.4.1系数都不为零的完整二次函数图像9
1.4.2B=0（或A=0）（其它系数均不为0）函数图像15
1.4.3与图像有关的主要结论16
1.5完整二次函数的单调性、周期性和奇偶性16
1.5.1单调性16
1.5.2周期性19
1.5.3奇偶性20
1.6完整二次函数的极限与连续20
1.6.1完整二次函数的极限20
1.6.2完整二次函数的连续21
1.7完整二次函数的导数、微分及相关问题21
1.7.1导数21
1.7.2微分23
1.7.3完整二次函数的极值问题24
1.7.4完整二次函数的凹凸与拐点问题24
1.8完整二次函数的积分24
1.8.1不定积分24
1.8.2定积分26

第2章负高次幂函数及通用函数30
2.1负高次幂函数及通用函数的基本介绍30
2.1.1负高次幂函数表达式30
2.1.2通用函数表达式30
2.1.3负高次幂函数可以准确表示数值对应关系的命题及证明31
2.1.4通用函数可以表示任意非负函数的命题、推论及证明32
2.1.5负高次幂函数与泰勒函数的本质差别37
2.2负高次幂函数及通用函数的定义域与值域38
2.2.1负高次幂函数的定义域与值域38
2.2.2通用函数的定义域与值域38
2.3负高次幂函数及通用函数的图像38
2.3.1图像的形成38
2.3.2变量对应值、函数、图像的关系39
2.4负高次幂函数及通用函数的单调性、周期性、奇偶性39
2.4.1单调性39
2.4.2周期性41
2.4.3奇偶性42
2.5负高次幂函数及通用函数的极限与连续43
2.5.1负高次幂函数及通用函数的极限43
2.5.2负高次幂函数及通用函数的连续44
2.6负高次幂函数及通用函数的导数、微分及相关问题45
2.6.1导数45
2.6.2微分46
2.6.3负高次幂函数及通用函数的最大(最小)值问题46
2.6.4负高次幂函数及通用函数的凹凸与拐点问题47
2.7负高次幂函数及通用函数的积分49
2.7.1不定积分49
2.7.2定积分49

第3章时间累计函数及累计方法50
3.1时间累计函数的产生50
3.1.1引例50
3.1.2函数产生53
3.1.3累计的意义54
3.1.4函数中时间变量的广义替换54
3.2时间累计函数的变量及常量56
3.2.1原始变量56
3.2.2表达式中的变量及常量定义57
3.3时间累计函数的常数确定58
3.3.1常数的主要类型58
3.3.2常数的选择与确定59
3.4函数形式59
3.5函数图像60
3.6函数的偏导数与全导数62
3.6.1一阶偏导数62
3.6.2二阶偏导数62
3.6.3全导数62
3.7函数全微分63
3.8函数中的变量关系63
3.8.1变化指标（x）与时间（y）的关系63
3.8.2原始变量（ξ）与累计值（z）的关系66
3.8.3原始变量（ξ）与时间（y）的关系66
3.8.4全微分求解变化指标函数x=h（y）67
3.9二次累计69
3.9.1二次累计的定义69
3.9.2二次累计与一次累计的联系70
3.9.3二次累计与一次累计的案例比较70
3.10多次累计77
3.10.1多次累计的定义77
3.10.2三次累计与二次累计的案例比较78
3.11采用累计方法建立函数的基础条件和判定标准85
3.11.1基础条件85
3.11.2判定标准85
3.12非随机变量案例85
3.12.1案例基础资料（虚拟案例）85
3.12.2案例问题讨论86

第4章理论函数求解91
4.1变量对应关系、函数、理论函数概念91
4.1.1变量对应关系概念91
4.1.2函数概念91
4.1.3理论函数概念91
4.2对应关系求解92
4.2.1用完整二次函数求解五组数据的变量对应关系92
4.2.2用负高次幂函数求解n组数据的变量对应关系94
4.3理论函数求解96
4.3.1理论函数求解引例96
4.3.2给定数值对应关系的理论函数求解98
4.3.3给定曲线的理论函数求解115

第5章近似函数求解1285.1概述128
5.1.1近似函数的基本概念128
5.1.2近似程度评价129
5.1.3近似函数求解的一般问题130
5.1.4近似函数求解的一般方法130
5.1.5近似函数求解需着重解决的问题130
5.1.6提高近似程度的途径135
5.2给定函数的近似函数求解135
5.2.1利用完整二次函数求解给定函数的近似函数135
5.2.2利用负高次幂函数求解给定函数的近似函数136
5.2.3利用组合函数求解给定函数的近似函数137
5.3给定曲线的近似函数求解140
5.3.1用完整二次函数求解给定曲线的近似函数140
5.3.2用负高次幂函数求解给定曲线的近似函数144
5.3.3用通用函数求解给定曲线的近似函数145
5.3.4用多元素组合函数求解给定曲线的近似函数147
5.4给定变量对应值的近似函数求解153
5.4.1简单光滑曲线的近似函数建立及求解154
5.4.2复杂光滑曲线的近似函数建立及求解158
5.4.3折线图的近似函数建立及求解163

第6章经验函数求解169
6.1概述169
6.1.1经验函数的基本概念169
6.1.2可以（适合）建立经验函数的情形169
6.1.3经验函数求解的一般问题170
6.1.4经验函数求解的一般方法170
6.2折线图的经验函数求解举例173
6.3散布图的经验函数求解举例179

参考文献184